1.1 Relaciones.
Si resulta una relacion, usaremos la notacion , que se lee " esta relacionado por con ", o Solamente " esta relacionado con ", Con El Fin De indicar el hecho de que . En caso de que diremos que " no esta relacionado por con " asi como usaremos la notacion . Tambien, el comun se dira total sobre partida, desplazandolo hacia el pelo grupo de venida (o recorrido) sobre .
Sea una conexion. Definimos su dominio por , asi como su forma por . El combinado suele llamarse croquis de la trato asi como se anota . Seria directo que , pero en general no seria cierta la igualdad como conjuntos.
Toda mision induce a la contacto. En caso de que resulta una accion, la relacion asociada es , a donde el conjunto sobre pares ordenados esta hexaedro por
Claramente se cumple que , e
Igualdad de relaciones De la definicion sobre contacto como la terna, seria directo que 2 relaciones desplazandolo hacia el pelo son iguales ssi . A su vez, seria ademas Cristalino que si , entonces sobre aqui que se cumple
1.2 Relaciones en donde .
Modelo importante
Estudiemos las 4 prestaciones anteriores de la comunicacion en semejante que
donde seria un natural fijo. Esta trato se llama de congruencia modulo desplazandolo hacia el pelo si decimos que " es congruente con modulo ", o que " es lo mismo a modulo ". Son usuales las notaciones (mod ) o . Simetria Sean tales que . Existe que examinar que . Conocemos que . Sea semejante que . Despejando se posee que , en otras palabras hemos encontrado un impasible semejante que lo que demostracii?n que . Refleja Sea . Debemos probar que . Es decir Tenemos que hallar semejante que . Basta encaminarse , con lo que y se concluye que . Transitividad Sean tales que . Tenemos que examinar que . Se tiene para un exacto , asi como Con El Fin De un exacto . Despues, despejando, se obtiene . Hemos encontrado un firme igual que , posteriormente . Antisimetria nunca lo es si pues, como podria ser En Caso De Que , se dispone de que y Igualmente No obstante . Si , la comunicacion seria la igualdad en , debido a que no seria sorprendente que sea Ademi?s antisimetrica. Tambien esta conexion cumple las subsiguientes propiedades (a) . (b) . En resultado, la hipotesis obliga que , Con El Fin De determinados . (a) Sumando estas ecuaciones, obtenemos , de donde sale que . (b) Multiplicando las mismas ecuaciones, obtenemos , de a donde sale que .
Prototipo La contacto de divisibilidad en seria un disciplina parcial asi como la relacion es un equilibrio total.
1.3 Relaciones sobre equivalencia.
Recordemos que una contacto en seria de equivalencia ssi es refleja, simetrica desplazandolo hacia el pelo transitiva.
Ej Considere la comunicacion sobre congruencia modulo 2 en ( ). En esta relacion seria el conjunto sobre las pares, seria el comun de los enteros impares, son los impares, . En este modelo existen solo 2 tipos sobre equivalencia diversas desplazandolo hacia el pelo . Observemos que . Igualmente . Caracteristicas
Las dos propiedades anteriores permiten explicar una particion sobre .
Esto es, una parentela de subconjuntos sobre , 2 a dos disjuntos, cuya vinculacion seria . Sobre forma mas precisa, hay un comun sobre subconjuntos nunca vacios de , (que sera la particion sobre ), semejante que si entonces (2 a 2 disjuntos) y no ha transpirado
Esta ultima liga se comprende como sigue
La particion que nos interesa edificar seria la formada por las clases sobre equivalencia de , en otras palabras,
Este total se llama conjunto cociente sobre , y se puede anotar Ademi?s como .
Prototipo significativo
Para , dar con el grupo cociente sobre por la conexion de equivalencia , que denotamos por (los "enteros modulo p"). Denotamos a la clase de equivalencia sobre como . Echemos un vistado a primero un par de casos triviales
En caso de que , conocemos que seria la igualdad en , asi como entonces Con El Fin De cada . Posteriormente . En caso de que , por lo tanto es directo que , por lo que Existen la sola especie sobre equivalencia para todo el mundo las enteros , desplazandolo hacia el pelo (un comun con un unico factor).
Hoy por hoy supondremos que hitwe app para ligar . Esta es la restriccion que habitualmente se impone cuando se utilizan las congruencias modulo en la praxis. Haremos utilizo sobre la division sobre numeros enteros, que se puede enunciar igual que sigue Si asi como , entonces hay una sola pareja sobre enteros , llamados respectivamente cociente desplazandolo hacia el pelo resto de la division sobre por , tales que , asi como tambien .
En caso de que es un impasible alguno, dividiendolo por obtenemos , con . Sin embargo esta ecuacion dice que , en otras palabras, que . Sobre aca que las tipos sobre equivalencia Con El Fin De son solo . Asimismo estas clases son distintas entre si, Ya que si , Con El Fin De , entonces . No obstante como ademas , por lo tanto la unicidad de la division de por dedicacion .
Concluimos entonces que , y posee exactamente elementos.
Estructuras Algebraicas
1.4 Leyes sobre composicion interna
Con el fin de simplificar la notacion, En muchas ocasiones se eliminan incluso los parentesis de la notacion sobre tipos sobre equivalencia en , escribiendo . Puede Ademi?s denotarse el + sobre como y el de igual que . Con estas convenciones, el modelo 1 seria simplemente la suma asi como el producto en , asi como el ejemplo 2 corresponde a la suma en .
1.5 caracteristicas basicas de las l.c.i
Patrimonio El neutral, cuando existe, es unico (y tenemos entonces derecho a hablar de el neutral).
En proposito, supongamos que Hay neutros y . Seguidamente .
Asociatividad Decimos que la l.c.i. en es asociativa ssi
Componentes inversos Si hay neutro , decimos que posee a como inverso, o que seria un inverso para ssi
En general, un inverso de nunca es unico. Cuando sea unico lo denotaremos . La capacidad de unicidad seria la sub siguiente,
Propiedad Si dispone de neutral desplazandolo hacia el pelo seria asociativa entonces las inversos son unicos.
En fin, sean tales que y no ha transpirado . Posteriormente operando por Durante la reciente igualdad por la izquierda se obtiene . Como la ley es asociativa por lo tanto , sobre lo que deducimos que .
Conmutatividad Decimos que la l.c.i. en es conmutativa ssi
Supongamos que resulta una organizacion algebraica asociativa desplazandolo hacia el pelo con neutral